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Considere a curva y=xn. Quando né um inteiro positivo, a curva é uma função potência que começa na origem e cresce rapidamente à medida que x aumenta. Essas curvas podem ser usadas para modelar uma ampla gama de fenômenos, desde o crescimento de populações até o decaimento de materiais radioativos. Por exemplo, a função y=xn pode ser usada para modelar o crescimento de uma população de bactérias, em que n representa a taxa de crescimento.
Seja n um número natural. Calcule a área entre as curvas y=xn e y=xn+1.
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Alternativa C - 1 / ((n + 1)(n + 2))
O cálculo de áreas entre duas funções é realizado através da integral definida da diferença entre a função superior e a função inferior no intervalo em que elas se delimitam.
Para encontrar a área entre y = xⁿ e y = xⁿ⁺¹, primeiro identificamos os pontos de intersecção no primeiro quadrante (onde x é positivo). Igualando as funções: xⁿ = xⁿ⁺¹ → xⁿ - xⁿ⁺¹ = 0 → xⁿ(1 - x) = 0. Isso nos dá os pontos x = 0 e x = 1. No intervalo [0, 1], como n é um inteiro positivo, xⁿ ≥ xⁿ⁺¹.
A área A é dada por: A = ∫₀¹ (xⁿ - xⁿ⁺¹) dx A = [xⁿ⁺¹ / (n + 1) - xⁿ⁺² / (n + 2)] da base 0 ao topo 1 A = (1ⁿ⁺¹ / (n + 1) - 1ⁿ⁺² / (n + 2)) - (0 - 0) A = 1 / (n + 1) - 1 / (n + 2)
Para subtrair as frações, utilizamos o denominador comum (n + 1)(n + 2): A = [(n + 2) - (n + 1)] / [(n + 1)(n + 2)] A = 1 / [(n + 1)(n + 2)] A = 1 / (n² + 3n + 2)
Através da aplicação da integral definida e da simplificação algébrica, determinamos que a área entre as duas curvas de potência no intervalo unitário é dada pela expressão racional encontrada na alternativa C.
Alternativa C.