Considere a função $f(x)=\ln(x+1)\sin(x)$ . Com respeito às características do ponto $x=0$ , é cor...

Vamos aplicar o teste da derivada segunda para verífica se $x=0$  é ponto de máximo ou mínimo (local). $f'(x)=(\ln(x+1))'\sin(x)+\ln(x+1)(\sin(x))'=\frac{\sin(x)}{x+1}+\ln(x+1)\cos(x)$ $f''=\frac{(\sin(x))'(x+1)-\sin(x)(x+1)'}{(x+1)^2}+(\ln(x+1))'\cos(x)+\ln(x+1)(\cos(x))'$ $=\frac{\cos(x)(x+1)-\sin(x)}{(x+1)^2}+\frac{\cos(x)}{x+1}-\ln(x+1)\sin(x)$ . Assim, $f^{\prime}(0)=0$  e $f''(0)=2>0$ . Portanto, $x=0$  é ponto de mínimo local.