Considere a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1. Note que seu gráfico contém o ponto (0,1), isto é 𝑓(0)...

Alternativa E - b = 5

Introdução

A derivada de uma função em um ponto específico fornece a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Este problema relaciona a regra da derivação de polinômios com a equação da reta y = mx + n.

Desenvolvimento

Dada a função f(x) = 4x² + bx + 1, sua derivada f'(x) representa o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto x. A regra de potência nos dá: f'(x) = 2 × 4x + b = 8x + b.

Análise

1. O problema informa que a reta tangente no ponto (0, 1) é y = 1 + 5x.
2. Na equação da reta y = 5x + 1, o coeficiente angular (m) é 5.
3. Portanto, a derivada da função no ponto x = 0 deve ser igual a 5: f'(0) = 5 8(0) + b = 5 b = 5.

Conclusão

Igualando a inclinação da reta tangente fornecida à derivada da função no ponto de tangência, determinamos que o valor do coeficiente b é 5.

Alternativa E.