Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 (𝑙𝑛(𝑥 + 𝑒) − 1). Com respeito as características do ponto 𝑥 = 0...

Alternativa C - x = 0 é um ponto de inflexão da função f(x).

Introdução

Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda de sinal, geralmente onde a segunda derivada é nula ou inexistente.

Desenvolvimento

Para f(x) = x²(ln(x + e) - 1):

1. Derivada primeira: f'(x) = 2x(ln(x + e) - 1) + x²/(x + e). No ponto x = 0, f'(0) = 0, indicando um ponto crítico.
2. Derivada segunda: f''(x) = 2(ln(x + e) - 1) + 2x/(x + e) + [2x(x + e) - x²]/(x + e)². No ponto x = 0: f''(0) = 2(ln(e) - 1) + 0 + 0 = 2(1 - 1) = 0.

Análise

Como f''(0) = 0, precisamos verificar a terceira derivada ou a mudança de sinal de f''(x). Para esta função específica, a concavidade muda de sentido ao passar por zero. Diferente de um ponto de máximo ou mínimo (onde a segunda derivada seria ≠ 0), o valor nulo da segunda derivada acompanhado de mudança de sinal caracteriza a inflexão.

Conclusão

O valor x = 0 atende aos requisitos matemáticos para ser classificado como ponto de inflexão da curva.

Alternativa C.