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Dentro do estudo do Cálculo, o Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão direta entre a integração e a diferenciação. Uma aplicação desse teorema nos permite calcular áreas sob curvas de maneira eficiente, através do conceito de primitivas (antiderivadas) de funções. O Teorema afirma que, se F é uma primitiva (antiderivada) de $f$ no intervalo $[a,b]$ , então a integral definida de f de $a$ até $b$ é igual a F(b)−F(a).
Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule a integral definida da função $f(x)=e^{x}+3x^{2}-10x^{4}$ no intervalo de 1 a 2, ou seja, calcule $\int_{1}^{2}\left(e^{x}+3x^{2}-10x^{4}\right),dx$ .
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JUSTIFICATIVA
Para a função $f(x)=e^{x}+3x^{2}-10x^{4}$ , uma primitiva F(x) é dada por $F(x)=e^{x}+3\frac{x^{3}}{3}-10\frac{x^{5}}{5}=e^{x}+x^{3}-2x^{5}$ .
Portanto, $\int_{1}^{2} \left(e^{x} + 3 x^{2} - 10 x^{4}\right) , dx = F(2) - F(1) = \left[ e^{2} + 2^{3} - 2 \cdot 2^{5} \right] - \left[ e^{1} + 1^{3} - 2 \cdot 1^{5} \right] = e^{2} - e - 55$ .