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Frações parciais é uma técnica usada para simplificar e decompor uma função racional, que é uma razão de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples. A ideia por trás das frações parciais é expressar uma fração com um denominador que pode ser fatorado em fatores mais simples, como uma soma de frações, cada uma com um denominador mais simples. Para fazer isso, começamos fatorando o denominador da função racional em fatores irredutíveis. Então, para cada fator, escrevemos uma fração parcial com um numerador de grau menor que o denominador. A forma da fração parcial depende do grau do fator no denominador. Essa técnica pode ser útil para integrar frações racionais, uma vez que obtemos uma soma de funções mais simples.
Utilizando as frações parciais encontre.
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Alternativa E - 1/2 ln |(x-1)/(x+1)| + C
A técnica de frações parciais é utilizada para integrar funções racionais decompondo o denominador em fatores lineares ou quadráticos simples.
Para integrar 1 / (x² - 1), primeiro fatoramos o denominador como uma diferença de quadrados: (x - 1)(x + 1). Montamos a decomposição: 1 / [(x-1)(x+1)] = A/(x-1) + B/(x+1) Multiplicando ambos os lados, obtemos: 1 = A(x+1) + B(x-1). Resolvendo o sistema:
A integral torna-se: ∫ [1/2(x-1) - 1/2(x+1)] dx = 1/2 ln |x-1| - 1/2 ln |x+1| + C Utilizando propriedades de logaritmo (ln a - ln b = ln(a/b)): = 1/2 ln |(x-1)/(x+1)| + C.
A decomposição facilitou a integração, resultando na expressão logarítmica simplificada.
Alternativa E.