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O teorema de Taylor é uma ferramenta poderosa no cálculo para aproximar funções por meio de polinômios. Sua compreensão e aplicação são fundamentais em várias áreas da matemática e da física.
Dada a função $f(x)=\sin(x)$ , aplique o teorema de Taylor para encontrar a aproximação de segunda ordem para $f(x)$ em torno de $x=0$ , ou seja, encontre o polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima $f(x)$ para $x$ próximo de $x=0.$
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JUSTIFICATIVA
A aproximação de segunda ordem para $f(x)$ em torno do ponto $x=x_{0}$ é dada por $f(x)\approx p(x)$ em que $p(x)$ é o polinômio de Taylor de grau menor ou igual a 2 definido por $p(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}$ .
Para $f(x)=\sin(x)$ em torno de $x=0$ a aproximação de segunda ordem é dada por $f(x)\approx p(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^{2}=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^{2}$ .
Como $f'(x)=\cos(x)$ e $f''(x)=-\sin(x)$ , temos $f(0)=0, f'(0)=1$ e $f''(0)=0$ .
Portanto, o polinômio de segunda ordem de $f(x)=\sin(x)$ em torno de $x=0$ é dado por $p(x)=0+1x+\frac{0}{2}x^{2}=x$ .