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O teorema do confronto, também chamado de teorema do sanduíche, é uma ferramenta bastante útil para encontrar limites de funções que, a uma primeira vista, não possuem limite ou cujo limite leva a uma indeterminação.
Seja c uma constante real positiva e . Assinale a alternativa que representa o valor de
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Alternativa C - 0
O Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) afirma que, se uma função está "espremida" entre duas outras funções que tendem ao mesmo limite em um ponto, então a função do meio também deve tender a esse mesmo limite.
Queremos calcular o limite de f(x) = x² × cos(c/x) quando x tende a 0.
Sabemos que a função cosseno, independente do seu argumento (c/x), está sempre limitada entre -1 e 1: -1 ≤ cos(c/x) ≤ 1
Multiplicando todos os termos por x² (que é sempre ≥ 0): -x² ≤ x² × cos(c/x) ≤ x²
Agora, aplicamos o limite quando x tende a 0:
Como as funções das extremidades tendem a 0, a função do meio obrigatoriamente também tende a 0.
Pelo Teorema do Confronto, o limite da função dada quando x se aproxima de 0 é igual a 0.
Alternativa C.