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Pela definição, a derivada de uma função é a função , na qual se lê f linha de x. Esse valor, para qualquer um dos pontos do domínio da função, corresponde a , se esse limite existir. Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio.
Descreva o resultado de dada a função aplicando a definição e assinale a alternativa que o corresponde.
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Alternativa D - -2x
A derivada por definição utiliza o conceito de limite do quociente de Newton, representando a taxa de variação instantânea de uma função.
Dada f(x) = 4 - x², a definição de derivada é: f'(x) = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h
Substituindo a função: f'(x) = lim (h→0) [(4 - (x + h)²) - (4 - x²)] / h f'(x) = lim (h→0) [4 - (x² + 2xh + h²) - 4 + x²] / h
Simplificando os termos numericamente: f'(x) = lim (h→0) [4 - x² - 2xh - h² - 4 + x²] / h f'(x) = lim (h→0) [-2xh - h²] / h f'(x) = lim (h→0) h(-2x - h) / h f'(x) = lim (h→0) -2x - h
Ao aplicar o limite h = 0: f'(x) = -2x.
O cálculo através da definição formal confirma que a derivada da função f(x) = 4 - x² é -2x.
Alternativa D.