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Podemos calcular a integral de uma função diretamente se conhecemos a primitiva da função. No entanto nem sempre a função a ser integrada é uma função elementar ou uma combinação de funções elementares. Nesse caso, é preciso lançar mão de estratégias alternativas, como o uso de técnicas de integração.
Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta .
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Alternativa A - x eˣ - eˣ + C
O produto de uma função algébrica por uma exponencial é um caso típico para o uso da técnica de integração por partes.
Para ∫ x eˣ dx: Escolhemos u = x (função algébrica, seguindo a regra LIATE) → du = dx. Escolhemos dv = eˣ dx (função exponencial) → v = eˣ.
Aplicando a fórmula ∫ u dv = uv - ∫ v du: ∫ x eˣ dx = x eˣ - ∫ eˣ dx. A integral de eˣ é a própria eˣ. Resultando em: x eˣ - eˣ + C.
A simplificação através das partes removeu a variável 'x' do integrando, permitindo a resolução direta do termo remanescente.
Alternativa A.