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Polinômios são considerados funções bastante simples, mas possuem propriedades bastante interessantes. São bem definidos, contínuos e deriváveis em toda a reta, e existem séries de polinômios que podem aproximar a maior parte das funções reais.
Assinale a alternativa que apresenta o polinômio de Taylor de ordem 2 utilizado para aproximar a função f(x)=ekx para algum x, utilizando como referência o ponto a.
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Alternativa D - [Fórmula do Polinômio de Taylor para e^(kx)]
O polinômio de Taylor de ordem n é uma soma finita baseada nas derivadas da função em um ponto de referência 'a', servindo como uma aproximação local da função.
A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 2 é: P₂(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a) / 2!](x - a)².
Dada f(x) = eᵏˣ:
Substituindo na fórmula: P₂(x) = eᵏᵃ + k · eᵏᵃ(x - a) + (k² · eᵏᵃ / 2)(x - a)² Colocando eᵏᵃ em evidência: P₂(x) = eᵏᵃ [1 + k(x - a) + (k²/2)(x - a)²].
A expressão na alternativa D corresponde exatamente ao desenvolvimento da série de Taylor até a segunda ordem para a função exponencial dada.
Alternativa D.