Seja $A$ o valor da área da região delimitada pelos gráficos das funções $f(x)=e^x$ e $g(x)=\ln...

Note que a área da região abaixo do gráfico de $f(x)$ no intervalo $[1,e]$ é dada pela integral definida $A_1=\int_1^e e^xdx$ .  Analogamente, a área da região abaixo do gráfico de $g(x)$ no intervalo $[1,e]$ é dada pela integral definida $A_2=\int_1^e \ln(x)dx$ . Assim, $A=A_1-A_2$ . Uma vez que uma primitiva da função $f(x)$ e dada por $F(x)=\int e^xdx =e^x$ e que uma primitiva da função $g(x)$ é dada por $G(x)=\int \ln(x)dx =-x+x\ln(x)$ ,  concluímos, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, que $A_1=F(e)-F(1)=e^e-e^1=e^e-1$  e $A_2=G(e)-G(1)=-e+e\ln(e)-(-1+1\ln(1))=-e+e-(-1)=1$ . Portanto, $A=A_1-A_2=e^e-e-1$