Seja 𝑦(𝑥) uma função real derivável satisfazendo a seguinte equação 𝑦(𝑥)3 + 𝑥(𝑦(𝑥)2 + 𝑦(𝑥))...

Alternativa B - -2/3

Introdução

Para encontrar a derivada de uma função onde y não está explicitamente isolado em termos de x, utilizamos a Derivação Implícita. Este método aplica a regra da cadeia para tratar y como uma função y(x).

Desenvolvimento

Dada a equação: y³ + x(y² + y) - 1 = 0.

Passo 1: Encontrar o valor de y quando x = 0. Substituindo x = 0 na equação original: y³ + 0(y² + y) - 1 = 0 y³ - 1 = 0 => y = 1. Portanto, o ponto de análise é (0, 1).

Passo 2: Derivar implicitamente em relação a x. d/dx [y³] + d/dx [x(y² + y)] - d/dx [1] = 0 3y²(dy/dx) + [1 × (y² + y) + x × (2y(dy/dx) + dy/dx)] = 0.

Análise

Substituindo os valores x = 0 e y = 1 na equação derivada: 3(1)²(dy/dx) + (1² + 1) + 0 × (2(1)(dy/dx) + dy/dx) = 0 3(dy/dx) + 2 + 0 = 0 3(dy/dx) = -2 dy/dx = -2/3.

| Variável | Valor no Ponto | | :--- | :--- | | x | 0 | | y | 1 | | y' | -2/3 |

Conclusão

A derivada da função no ponto x = 0 é exatamente -2/3, o que valida a alternativa B.

Alternativa B.