A função de resposta em frequência de um compensador por avanço de fase está ilustrada pelo seguinte...

Alternativa C - [C(s) = \frac{s + 1}{0.1s + 1}]

Introdução

A questão aborda o tema de compensadores por avanço de fase em sistemas de controle, especificamente a relação entre sua função de transferência e o Diagrama de Bode correspondente. O Diagrama de Bode é uma ferramenta gráfica essencial para a análise e projeto de sistemas de controle, pois ilustra a resposta em frequência de um sistema, permitindo inferir características como ganho, fase, estabilidade e tipos de compensadores. Um compensador por avanço de fase é utilizado para melhorar a estabilidade e o desempenho transitório de um sistema, adicionando avanço de fase em uma determinada faixa de frequência.

Desenvolvimento

Um compensador por avanço de fase possui a forma geral da função de transferência: (C(s) = K \frac{Ts + 1}{\alpha Ts + 1}) onde:

• (K) é o ganho do compensador.
• (T) é uma constante de tempo que define a frequência do zero.
• (\alpha) é um fator real tal que (0 < \alpha < 1). Este fator garante que o polo seja mais rápido (ocorra em uma frequência maior) que o zero, o que é fundamental para gerar avanço de fase.

No Diagrama de Bode, as características de um compensador por avanço de fase são as seguintes:

1. Ganho em baixa frequência: Para (\omega \to 0), o ganho é (20 \log_{10}(K)) dB.
2. Frequência do zero: (\omega_z = 1/T). Neste ponto, a curva de magnitude começa a subir a uma taxa de +20 dB/década e a fase começa a aumentar.
3. Frequência do polo: (\omega_p = 1/(\alpha T)). Neste ponto, a curva de magnitude cessa o aumento, retornando à inclinação original (0 dB/década), e a fase começa a diminuir de volta para 0°.
4. Ganho em alta frequência: Para (\omega \to \infty), o ganho é (20 \log_{10}(K/\alpha)) dB. A diferença de ganho entre alta e baixa frequência é (20 \log_{10}(1/\alpha)) dB.
5. Avanço de fase: A fase do compensador começa em 0°, aumenta para um valor máximo positivo (avanço de fase) e, em frequências muito altas, retorna a 0°. O avanço de fase máximo ocorre na frequência geométrica média entre o zero e o polo, (\omega_m = 1/(\sqrt{\alpha}T)).

Análise

Vamos analisar a alternativa correta e as demais com base nas características de um compensador por avanço de fase. A questão pressupõe que o Diagrama de Bode "ilustrado" possui características que correspondem à alternativa (C).

Alternativa C: [C(s) = \frac{s + 1}{0.1s + 1}]

• Formato: Comparando com a forma geral (K \frac{Ts + 1}{\alpha Ts + 1}), identificamos:
  • (K = 1)
  • (T = 1)
  • (\alpha T = 0.1 \implies \alpha = 0.1/1 = 0.1)
• Verificação (\alpha): Como (0 < 0.1 < 1), esta é de fato a função de transferência de um compensador por avanço de fase.
• Frequências de canto (break frequencies):
  • Zero em (\omega_z = 1/T = 1/1 = 1 \text{ rad/s}).
  • Polo em (\omega_p = 1/(\alpha T) = 1/0.1 = 10 \text{ rad/s}).
  • É importante notar que (\omega_z < \omega_p), o que é característico de um compensador por avanço de fase (o zero ocorre antes do polo).
• Ganho no Diagrama de Bode:
  • Ganho de baixa frequência ((\omega \to 0)): (20 \log_{10}(K) = 20 \log_{10}(1) = 0 \text{ dB}).
  • Ganho de alta frequência ((\omega \to \infty)): (20 \log_{10}(K/\alpha) = 20 \log_{10}(1/0.1) = 20 \log_{10}(10) = 20 \text{ dB}).
• Comportamento do Diagrama de Bode para (C): O diagrama de magnitude começaria em 0 dB, aumentaria em +20 dB/década a partir de 1 rad/s, e estabilizaria em 20 dB a partir de 10 rad/s. O diagrama de fase mostraria um pico de avanço de fase entre 1 rad/s e 10 rad/s. Estas são as características esperadas de um compensador por avanço de fase.

Análise das demais alternativas:

| Alternativa | Função de Transferência | (K) | (T) | (\alpha T) | (\alpha) | Tipo de Compensador | Frequências de Canto ((\omega_z, \omega_p)) | Ganho de Baixa Freq. | Ganho de Alta Freq. | | :---------- | :--------------------- | :---- | :---- | :----------- | :-------- | :------------------ | :---------------------------------------- | :-------------------- | :-------------------- | | (A) | (\frac{0.001s + 1}{0.1s + 1}) | 1 | 0.001 | 0.1 | 100 | Atraso de Fase | (1000 \text{ rad/s}, 10 \text{ rad/s}) | 0 dB | (20 \log_{10}(0.01)) = -40 dB | | (B) | (\frac{s + 1}{s + 1}) | 1 | 1 | 1 | 1 | Ganho puro (1) | Não aplicável | 0 dB | 0 dB | | (D) | (\frac{10s + 1}{0.5s + 1}) | 1 | 10 | 0.5 | 0.05 | Avanço de Fase | (0.1 \text{ rad/s}, 2 \text{ rad/s}) | 0 dB | (20 \log_{10}(20)) (\approx) 26.02 dB | | (E) | (\frac{10s + 1}{s + 1}) | 1 | 10 | 1 | 0.1 | Avanço de Fase | (0.1 \text{ rad/s}, 1 \text{ rad/s}) | 0 dB | (20 \log_{10}(10)) = 20 dB |

• Alternativa (A) é um compensador por atraso de fase, pois (\alpha = 100 > 1). Além disso, o polo ((10 \text{ rad/s})) ocorre antes do zero ((1000 \text{ rad/s})), o que causa atraso de fase e atenuação em alta frequência.
• Alternativa (B) simplifica para (C(s) = 1), que é um ganho unitário. Não introduz avanço ou atraso de fase e não altera o formato do Diagrama de Bode, mantendo um ganho constante de 0 dB em todas as frequências.
• Alternativas (D) e (E) são compensadores por avanço de fase, pois para ambas (0 < \alpha < 1). No entanto, suas frequências de canto ((0.1 \text{ rad/s}) e (2 \text{ rad/s}) para D; (0.1 \text{ rad/s}) e (1 \text{ rad/s}) para E) e/ou o ganho de alta frequência (para D) são diferentes dos da alternativa (C). A escolha da alternativa (C) como correta implica que o Diagrama de Bode ilustrado possui as frequências de canto de 1 rad/s e 10 rad/s, com um ganho de 0 dB em baixa frequência e 20 dB em alta frequência.

Conclusão

A função de transferência (C(s) = \frac{s + 1}{0.1s + 1}) representa um compensador por avanço de fase com um zero em 1 rad/s e um polo em 10 rad/s. Ela introduz um ganho de 0 dB em baixa frequência, que sobe para 20 dB em alta frequência, acompanhado de um avanço de fase na região intermediária. Essa configuração é consistente com as características esperadas de um compensador por avanço de fase, e os parâmetros calculados para K, T e alfa satisfazem as condições para tal. As outras alternativas representam compensadores de atraso, apenas ganho, ou compensadores de avanço com características de frequência ou ganho distintas, não correspondendo, portanto, ao Diagrama de Bode que levaria à seleção da alternativa (C).

Alternativa C.