A função de transferência H(s) representa a dinâmica de sistema a ser controlado, e a função de tran...

Alternativa E - 2.425

Introdução

Esta questão aborda um conceito fundamental em sistemas de controle: a análise de estabilidade e desempenho por meio das margens de fase e ganho. Especificamente, pede-se para determinar o ganho K de um controlador integral que leva o sistema de malha aberta a ter uma margem de fase desejada de 45°. A margem de fase é um indicador crucial da estabilidade relativa de um sistema de controle, representando a "folga" em termos de fase antes que o sistema se torne instável na frequência onde o ganho de malha aberta é unitário.

Desenvolvimento

A estabilidade de um sistema de controle é frequentemente avaliada usando critérios no domínio da frequência, como o critério de Nyquist, que se baseia na função de transferência de malha aberta L(s). A margem de fase (PM) é definida como PM = 180° + ∠L(jωgc), onde ωgc é a frequência de cruzamento de ganho (gain crossover frequency), ou seja, a frequência na qual a magnitude da função de transferência de malha aberta é igual a 1 (|L(jωgc)| = 1).

Para resolver a questão, devemos seguir os seguintes passos:

1. Obter a função de transferência de malha aberta L(s) = C(s) × H(s).
2. Determinar a expressão para o ângulo de fase ∠L(jω) em função da frequência ω.
3. Utilizar a condição da margem de fase desejada (PM = 45°) para encontrar o ângulo de fase necessário em ωgc, ou seja, ∠L(jωgc).
4. Resolver a equação de fase para encontrar a frequência de cruzamento de ganho ωgc.
5. Utilizar a condição de magnitude unitária (|L(jωgc)| = 1) na frequência ωgc para encontrar o valor do ganho K.

As funções de transferência dadas são:

• Controlador: C(s) = K/s
• Planta: H(s) = 1 / ((0.2s + 1)²)

Análise

1. Função de Transferência de Malha Aberta (L(s)): L(s) = C(s) × H(s) = (K/s) × [1 / (0.2s + 1)²] L(s) = K / [s(0.2s + 1)²]

2. Expressão da Resposta em Frequência (L(jω)): Substituindo s por jω: L(jω) = K / [jω(0.2jω + 1)²]

3. Expressão do Ângulo de Fase (∠L(jω)): O ângulo de fase de L(jω) é a soma dos ângulos dos termos no numerador menos a soma dos ângulos dos termos no denominador: ∠L(jω) = ∠(K) - ∠(jω) - ∠((0.2jω + 1)²) ∠L(jω) = 0° - 90° - 2 × arctan(0.2ω / 1) ∠L(jω) = -90° - 2 × arctan(0.2ω)

4. Determinação de ωgc a partir da Margem de Fase: A margem de fase desejada é PM = 45°. PM = 180° + ∠L(jωgc) 45° = 180° + ∠L(jωgc) ∠L(jωgc) = 45° - 180° = -135°

   Agora, igualamos a expressão do ângulo de fase a -135°: -135° = -90° - 2 × arctan(0.2ωgc) -45° = -2 × arctan(0.2ωgc) 22.5° = arctan(0.2ωgc) 0.2ωgc = tan(22.5°) 0.2ωgc ≈ 0.41421356 ωgc ≈ 0.41421356 / 0.2 ωgc ≈ 2.0710678 rad/s

5. Determinação de K a partir da Condição de Magnitude: Na frequência de cruzamento de ganho (ωgc), a magnitude de L(jωgc) deve ser 1: |L(jωgc)| = |K / [jωgc(0.2jωgc + 1)²]| = 1 K / [|jωgc| × |(0.2jωgc + 1)|²] = 1 K / [ωgc × (√((0.2ωgc)² + 1²))²] = 1 K / [ωgc × ((0.2ωgc)² + 1)] = 1 K = ωgc × ((0.2ωgc)² + 1)

   Substituindo o valor de ωgc ≈ 2.0710678: K = 2.0710678 × ((0.2 × 2.0710678)² + 1) K = 2.0710678 × ((0.41421356)² + 1) K = 2.0710678 × (0.171563 + 1) K = 2.0710678 × 1.171563 K ≈ 2.42699

   Arredondando para três casas decimais, K ≈ 2.427. Comparando com as alternativas, o valor mais próximo é 2.425.

Análise das Alternativas:

| Alternativa | Valor de K | Resultado com este K | | :---------- | :--------- | :------------------- | | (A) | 1.000 | Levaria a uma margem de fase diferente da desejada de 45°. | | (B) | 7.5 | Levaria a uma margem de fase diferente e provavelmente menor, indicando um sistema mais instável. | | (C) | 1.671 | Levaria a uma margem de fase diferente da desejada de 45°. | | (D) | 3.425 | Levaria a uma margem de fase diferente da desejada de 45°. | | (E) | 2.425 | É o valor que, com base nos cálculos, leva o sistema a ter uma margem de fase de aproximadamente 45°. A pequena diferença pode ser devido a arredondamentos. |

Conclusão

Através da análise da resposta em frequência da função de transferência de malha aberta, determinamos a frequência de cruzamento de ganho (ωgc) que corresponde a uma margem de fase de 45°. Em seguida, utilizamos a condição de magnitude unitária nesta frequência para calcular o valor do ganho K. O cálculo resultou em K ≈ 2.427, que é o mais próximo da alternativa (E) 2.425. Portanto, um ganho K de aproximadamente 2.425 levará o sistema a ter a margem de fase desejada de 45°.

Alternativa E.