A função de transferência H(s) representa a dinâmica de sistema. O controlador C(s) é um PID que ser...

Alternativa E - $K_{cr} = 30; \text{ e } P_{cr} = 3s$

Introdução

No método de sintonia de Ziegler-Nichols (Método da Frequência), o ganho crítico ($K_{cr}$) é o ganho proporcional que leva o sistema à estabilidade marginal, e o período crítico ($P_{cr}$) é o período das oscilações sustentadas resultantes.

Desenvolvimento

Considerando a malha fechada com ganho $K$: $1 + K \cdot H(s) = 0$. $1 + \frac{K}{s(s+1)(s+5)} = 0 \implies s(s^2 + 6s + 5) + K = 0 \implies s^3 + 6s^2 + 5s + K = 0$

Utilizamos o critério de Routh-Hurwitz:

• Linha $s^3$: 1 | 5
• Linha $s^2$: 6 | K
• Linha $s^1$: $\frac{6 \cdot 5 - 1 \cdot K}{6} = \frac{30 - K}{6}$

Para estabilidade marginal, a linha $s^1$ deve ser zero: $30 - K = 0 \implies K_{cr} = 30$.

Análise

Com $K_{cr} = 30$, analisamos a equação auxiliar da linha $s^2$ para encontrar a frequência de oscilação $\omega_{cr}$: $6s^2 + K_{cr} = 0 \implies 6s^2 + 30 = 0 \implies s^2 = -5 \implies s = \pm j\sqrt{5}$

A frequência crítica é $\omega_{cr} = \sqrt{5} \approx 2.236$ rad/s. O período crítico é calculado por $P_{cr} = \frac{2\pi}{\omega_{cr}}$: $P_{cr} = \frac{2 \cdot 3.14159}{2.236} \approx 2.81$ s.

| Parâmetro | Cálculo | Resultado Aproximado | | :--- | :--- | :--- | | $K_{cr}$ | $30 - K = 0$ | 30 | | $\omega_{cr}$ | $\sqrt{K_{cr}/6}$ | 2.24 rad/s | | $P_{cr}$ | $2\pi / \omega_{cr}$ | 3 s (conforme opções) |

Conclusão

O ganho que torna o sistema marginalmente estável é 30. O período de oscilação resultante é aproximadamente 3 segundos, o que valida os parâmetros necessários para o projeto do controlador PID por este método.

Alternativa E.