A seguinte função transferência representa um motor DC em série com um integrador sendo a entrada a ...

Alternativa (B) - MF ≈ 35° e ωc ≈ 29 rad/s

Introdução

Esta questão aborda a análise de sistemas de controle no domínio da frequência, focando na determinação da margem de fase (MF) e da frequência de corte de ganho (ωc) de um sistema compensado. A margem de fase e a frequência de corte de ganho são métricas cruciais para avaliar a estabilidade relativa e o desempenho transitório de um sistema em malha fechada. Um compensador por avanço de fase (lead compensator) é frequentemente utilizado para melhorar a velocidade de resposta e a margem de estabilidade de sistemas, introduzindo um avanço de fase em uma faixa de frequência específica.

Desenvolvimento

Para determinar a margem de fase e a frequência de corte de ganho do sistema compensado, precisamos primeiramente obter a função de transferência de malha aberta (G(s)) do sistema, que é o produto da função de transferência do motor DC (H(s)) e do compensador (C(s)).

A função de transferência do motor DC é dada por: [H(s) = \frac{1250}{s^2 + 10s} = \frac{1250}{s(s + 10)}]

A função de transferência do compensador por avanço de fase é: [C(s) = \frac{0.025s + 0.5}{0.025s + 1}] Podemos reescrever C(s) fatorando 0.025 no numerador e denominador para simplificar: [C(s) = \frac{0.025(s + 0.5/0.025)}{0.025(s + 1/0.025)} = \frac{s + 20}{s + 40}]

Agora, a função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G(s) = C(s)H(s): [G(s) = \left(\frac{s + 20}{s + 40}\right) \times \left(\frac{1250}{s(s + 10)}\right) = \frac{1250(s + 20)}{s(s + 10)(s + 40)}]

Para encontrar a frequência de corte de ganho ((\omega_{c})), determinamos a frequência na qual a magnitude de G(jω) é igual a 1 (ou 0 dB). Para encontrar a margem de fase ((MF)), calculamos a fase de G(jω) nessa frequência de corte de ganho e aplicamos a fórmula (MF = 180{^\circ} + \angle G(j\omega_{c})).

As expressões para a magnitude e fase de G(jω) são: [|G(j\omega)| = \frac{|1250(j\omega + 20)|}{|j\omega||j\omega + 10||j\omega + 40|} = \frac{1250 \sqrt{\omega^2 + 20^2}}{\omega \sqrt{\omega^2 + 10^2} \sqrt{\omega^2 + 40^2}}] [\angle G(j\omega) = \angle(j\omega + 20) - \angle(j\omega) - \angle(j\omega + 10) - \angle(j\omega + 40)] [\angle G(j\omega) = \arctan\left(\frac{\omega}{20}\right) - 90{^\circ} - \arctan\left(\frac{\omega}{10}\right) - \arctan\left(\frac{\omega}{40}\right)]

Para encontrar (\omega_{c}), precisamos resolver (|G(j\omega_c)| = 1). Dada as alternativas, podemos testar os valores de (\omega_{c}) fornecidos ou um valor próximo para verificar a condição.

Vamos testar (\omega_{c} = 29\ rad/s), conforme sugerido na alternativa (B): [|G(j29)| = \frac{1250 \sqrt{29^2 + 20^2}}{29 \sqrt{29^2 + 10^2} \sqrt{29^2 + 40^2}}] [|G(j29)| = \frac{1250 \sqrt{841 + 400}}{29 \sqrt{841 + 100} \sqrt{841 + 1600}}] [|G(j29)| = \frac{1250 \sqrt{1241}}{29 \sqrt{941} \sqrt{2441}}] [|G(j29)| \approx \frac{1250 \times 35.2278}{29 \times 30.6757 \times 49.4065} \approx \frac{44034.75}{43952.69} \approx 1.00187] Este valor é muito próximo de 1, confirmando que (\omega_{c} \approx 29\ rad/s) é a frequência de corte de ganho correta.

Agora, calculamos a fase de G(jω) em (\omega_{c} = 29\ rad/s): [\angle G(j29) = \arctan\left(\frac{29}{20}\right) - 90{^\circ} - \arctan\left(\frac{29}{10}\right) - \arctan\left(\frac{29}{40}\right)] [\angle G(j29) = \arctan(1.45) - 90{^\circ} - \arctan(2.9) - \arctan(0.725)] [\angle G(j29) \approx 55.48{^\circ} - 90{^\circ} - 70.99{^\circ} - 35.94{^\circ}] [\angle G(j29) \approx 55.48{^\circ} - 196.93{^\circ} \approx -141.45{^\circ}]

Finalmente, calculamos a margem de fase: [MF = 180{^\circ} + \angle G(j\omega_{c})] [MF = 180{^\circ} + (-141.45{^\circ}) \approx 38.55{^\circ}]

Análise

Nossos cálculos resultaram em:

• Frequência de corte de ganho ((\omega_{c})) (\approx 29\ rad/s)
• Margem de fase (MF) (\approx 38.55{^\circ})

Comparando com as alternativas:

| Alternativa | (MF) (dado) | (\omega_{c}) (dado) | (MF) (calculado) | (\omega_{c}) (calculado) | Avaliação | | :---------- | :------------ | :-------------------- | :----------------- | :------------------------- | :-------- | | (A) | (-8{^\circ}) | (10\ rad/s) | (38.55{^\circ}) | (29\ rad/s) | Incorreta | | (B) | (35{^\circ}) | (29\ rad/s) | (38.55{^\circ}) | (29\ rad/s) | Correta | | (C) | (-5{^\circ}) | (29\ rad/s) | (38.55{^\circ}) | (29\ rad/s) | Incorreta | | (D) | (15{^\circ}) | (19\ rad/s) | (38.55{^\circ}) | (29\ rad/s) | Incorreta | | (E) | (7{^\circ}) | (35\ rad/s) | (38.55{^\circ}) | (29\ rad/s) | Incorreta |

A frequência de corte de ganho de (29\ rad/s) é consistentemente a correta, pois nossa verificação de magnitude (|G(j29)|) resultou em um valor muito próximo de 1. A margem de fase calculada de (38.55{^\circ}) é a mais próxima do valor de (35{^\circ}) presente na alternativa (B). As pequenas diferenças podem ser atribuídas a arredondamentos nas opções ou no processo de cálculo manual. As outras alternativas apresentam valores significativamente diferentes para (\omega_{c}) e/ou (MF), tornando-as incorretas.

Conclusão

Após calcular a função de transferência de malha aberta do sistema compensado, G(s), e determinar sua magnitude e fase na frequência, verificamos que a frequência de corte de ganho é aproximadamente (29\ rad/s). Nesta frequência, a margem de fase foi calculada em aproximadamente (38.55{^\circ}). Entre as opções fornecidas, a alternativa que melhor se alinha com esses resultados é a (B), que indica (MF \approx 35{^\circ}) e (\omega_{c} \approx 29\ rad/s). O compensador por avanço de fase cumpriu seu objetivo, aumentando a margem de fase e, consequentemente, melhorando a estabilidade e a resposta transitória do sistema.

Alternativa (B).