Encontre a resposta em regime permanente (\(y(\infty)\)) para uma entrada degrau unitário (\(R(s) = ...

Alternativa C - 0

Introdução

Esta questão aborda o cálculo da resposta em regime permanente de um sistema de controle em malha fechada, uma métrica fundamental para avaliar o desempenho e a estabilidade de sistemas dinâmicos. A capacidade de determinar o valor final de uma saída do sistema após um tempo muito longo é crucial no projeto e análise de sistemas de controle, especialmente quando submetidos a entradas padrão como o degrau unitário. Utilizaremos a Teoria do Valor Final, uma ferramenta poderosa da Transformada de Laplace, para encontrar (y(\infty)).

Desenvolvimento

O sistema em questão é um sistema de controle em malha fechada com realimentação negativa. Para encontrar a resposta em regime permanente (y(\infty)) para uma entrada degrau unitário ((R(s) = 1/s)), precisamos seguir os seguintes passos:

1. Determinar a função de transferência do sistema em malha fechada, (T(s) = Y(s)/R(s)). A função de transferência de malha aberta na via direta é (G_{malha_aberta}(s) = K \cdot G(s)). Substituindo os valores dados: (G_{malha_aberta}(s) = 10 \cdot \frac{1}{s + 1} = \frac{10}{s + 1})

   A função de transferência do sistema em malha fechada com realimentação (H(s)) é dada por: (T(s) = \frac{G_{malha_aberta}(s)}{1 + G_{malha_aberta}(s) \cdot H(s)})

   Substituindo (G_{malha_aberta}(s)) e (H(s) = 1/s): (T(s) = \frac{\frac{10}{s + 1}}{1 + \frac{10}{s + 1} \cdot \frac{1}{s}}) (T(s) = \frac{\frac{10}{s + 1}}{1 + \frac{10}{s(s + 1)}})

   Para simplificar o denominador, encontramos um denominador comum: (1 + \frac{10}{s(s + 1)} = \frac{s(s + 1)}{s(s + 1)} + \frac{10}{s(s + 1)} = \frac{s^2 + s + 10}{s(s + 1)})

   Agora, substituímos de volta em (T(s)): (T(s) = \frac{\frac{10}{s + 1}}{\frac{s^2 + s + 10}{s(s + 1)}}) (T(s) = \frac{10}{s + 1} \cdot \frac{s(s + 1)}{s^2 + s + 10}) (T(s) = \frac{10s}{s^2 + s + 10})

2. Calcular (Y(s)) para a entrada degrau unitário ((R(s) = 1/s)). (Y(s) = T(s) \cdot R(s)) (Y(s) = \frac{10s}{s^2 + s + 10} \cdot \frac{1}{s}) (Y(s) = \frac{10}{s^2 + s + 10})

3. Aplicar o Teorema do Valor Final para encontrar (y(\infty)). O Teorema do Valor Final estabelece que, para um sistema estável onde todos os polos de (s \cdot Y(s)) estão no semiplano esquerdo do plano S (excluindo, no máximo, um polo simples na origem), o valor em regime permanente é dado por: (y(\infty) = \lim_{s \to 0} s \cdot Y(s))

   Primeiro, verificamos a estabilidade. Os polos de (Y(s)) são as raízes de (s^2 + s + 10 = 0). Usando a fórmula quadrática (s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}): (s = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}) (s = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 40}}{2}) (s = \frac{-1 \pm \sqrt{-39}}{2}) (s = \frac{-1 \pm j\sqrt{39}}{2}) Como a parte real dos polos é negativa ((-1/2)), o sistema é estável, e podemos aplicar o Teorema do Valor Final.

   Agora, aplicamos o teorema: (y(\infty) = \lim_{s \to 0} s \cdot \left( \frac{10}{s^2 + s + 10} \right)) (y(\infty) = \lim_{s \to 0} \frac{10s}{s^2 + s + 10})

   Substituindo (s = 0): (y(\infty) = \frac{10 \cdot 0}{0^2 + 0 + 10}) (y(\infty) = \frac{0}{10}) (y(\infty) = 0)

Análise

A análise dos resultados corrobora que a alternativa (C) é a correta.

• Alternativa (C) - 0: O cálculo detalhado da função de transferência em malha fechada, seguida da aplicação do Teorema do Valor Final, resultou em (y(\infty) = 0). Este resultado indica que, em regime permanente, a saída do sistema se estabiliza em zero, apesar da entrada degrau unitário. Isso ocorre porque o sistema de realimentação com um polo na origem em (H(s) = 1/s) introduz uma integração no caminho de realimentação, o que permite que o sistema elimine erros em regime permanente para entradas degrau. Especificamente, o polo em (s=0) no feedback (H(s)) significa que o sistema atua como um sistema Tipo 1 ou superior em relação ao erro de estado estacionário para entradas degrau, resultando em erro nulo (e, consequentemente, saída nula se o objetivo for rastrear a entrada a zero ou se o erro for levado a zero).

• Alternativas (A) - 10, (D) - 1, (E) - 0.1: Esses valores são números reais fixos, mas não correspondem ao cálculo realizado. Um valor diferente de zero significaria que há um erro em regime permanente para a entrada degrau, o que não é o caso aqui devido ao tipo de sistema.

• Alternativa (B) - (e^{0.1t}): Esta alternativa representa uma função exponencial crescente no tempo, indicando um comportamento instável ou uma resposta transitória que não converge para um valor constante. A resposta em regime permanente de um sistema estável a uma entrada degrau deve ser um valor constante, não uma função do tempo.

Conclusão

A resposta em regime permanente (y(\infty)) do sistema em malha fechada para uma entrada degrau unitário é 0. Este resultado é obtido através da derivação da função de transferência em malha fechada e da subsequente aplicação do Teorema do Valor Final. A presença de um integrador ((1/s)) no caminho de realimentação (H(s)) é crucial, pois sistemas com realimentação que incluem um polo na origem na malha de realimentação tendem a ter erro em regime permanente nulo para entradas degrau, levando a uma saída final de zero quando a referência é um degrau e o sistema é projetado para eliminar o erro.

Alternativa C.