Encontre o erro de regime permanente para uma entrada degrau unitário do sistema em malha fechada il...

Alternativa A - 0

Introdução

O erro de regime permanente ($e_{ss}$) é a diferença entre a entrada de referência e a saída do sistema quando o tempo tende ao infinito. Para sistemas lineares invariantes no tempo (LTI), esse erro depende tanto da natureza da entrada (degrau, rampa, parábola) quanto do "tipo" do sistema, que é definido pela quantidade de integradores puros (polos na origem) na função de transferência de malha aberta.

Desenvolvimento

Primeiramente, determinamos a função de transferência em malha aberta $G_{ma}(s)$ multiplicando o controlador $C(s)$ pela planta $H(s)$:

$G_{ma}(s) = C(s) \cdot H(s) = 10 \cdot \frac{0.5}{s^3 + 2s^2 + 3s} = \frac{5}{s(s^2 + 2s + 3)}$

Observamos que existe um fator $s$ em evidência no denominador, o que caracteriza este sistema como um Sistema de Tipo 1 (possui um integrador na malha).

Análise

Para uma entrada degrau unitário $R(s) = 1/s$, o erro de regime permanente é calculado por:

$e_{ss} = \lim_{s \to 0} \frac{s \cdot R(s)}{1 + G_{ma}(s)} = \lim_{s \to 0} \frac{1}{1 + G_{ma}(s)}$

Definimos a constante de erro de posição ($K_p$): $K_p = \lim_{s \to 0} G_{ma}(s) = \lim_{s \to 0} \frac{5}{s(s^2 + 2s + 3)} = \infty$

Logo, o erro é: $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p} = \frac{1}{1 + \infty} = 0$

| Tipo de Sistema | Entrada Degrau ($e_{ss}$) | Entrada Rampa ($e_{ss}$) | | :--- | :--- | :--- | | Tipo 0 | $1/(1+K_p)$ | $\infty$ | | Tipo 1 | 0 | $1/K_v$ | | Tipo 2 | 0 | 0 |

Conclusão

Como o sistema possui um integrador em malha aberta (Tipo 1), ele é capaz de rastrear uma entrada degrau sem erro residual após o período transitório. Portanto, o erro de regime permanente é nulo.

Alternativa A.