Indique o ganho \(K\_{c}\) para o compensador por atraso de fase \[C(s) = K\_{c}\frac{Ts + 1}{\alpha...

Alternativa (A) - $K_{c} = 1000$

Introdução

A questão aborda o projeto de um compensador por atraso de fase para um sistema de controle, com o objetivo de satisfazer requisitos específicos de desempenho no domínio da frequência. Mais precisamente, busca-se um ganho $K_c$ que garanta uma margem de fase (MF) superior a 50° e uma frequência de corte (ganho unitário) superior a 30 rad/s. A análise envolve a combinação das funções de transferência do compensador e da planta para formar a função de transferência de malha aberta e, em seguida, a avaliação de seu diagrama de Bode (magnitude e fase).

Desenvolvimento

O sistema de controle em malha aberta é a combinação do compensador $C(s)$ e da planta $H(s)$. O compensador por atraso de fase é dado por: $C(s) = K_c \frac{Ts + 1}{\alpha Ts + 1}$ Com $T = 0.1$ e $\alpha = 100$, substituímos os valores: $C(s) = K_c \frac{0.1s + 1}{100(0.1s) + 1} = K_c \frac{0.1s + 1}{10s + 1}$

A planta a ser controlada é: $H(s) = \frac{1}{0.2s + 1}$

A função de transferência de malha aberta $G(s)$ é o produto de $C(s)$ e $H(s)$: $G(s) = C(s)H(s) = K_c \frac{0.1s + 1}{(10s + 1)(0.2s + 1)}$

Os requisitos de desempenho são:

1. Margem de Fase (MF) > 50°
2. Frequência de Corte (ω_gc) > 30 rad/s

Para analisar esses requisitos, precisamos da resposta em frequência de $G(s)$, ou seja, $G(j\omega)$. A magnitude de $G(j\omega)$ é: $|G(j\omega)| = K_c \frac{|0.1j\omega + 1|}{|10j\omega + 1||0.2j\omega + 1|}$ $|G(j\omega)| = K_c \frac{\sqrt{1 + (0.1\omega)^2}}{\sqrt{1 + (10\omega)^2}\sqrt{1 + (0.2\omega)^2}}$

A fase de $G(j\omega)$ é: $\phi(\omega) = \angle G(j\omega) = \angle(0.1j\omega + 1) - \angle(10j\omega + 1) - \angle(0.2j\omega + 1)$ $\phi(\omega) = \arctan(0.1\omega) - \arctan(10\omega) - \arctan(0.2\omega)$ Note que a fase $\phi(\omega)$ é independente do ganho $K_c$.

Análise

1. Análise da Margem de Fase (MF): A margem de fase é dada por MF = 180° + $\phi(\omega_{gc})$, onde $\omega_{gc}$ é a frequência de corte (ganho unitário), ou seja, a frequência na qual $|G(j\omega_{gc})| = 1$. O requisito é MF > 50°, o que implica que $\phi(\omega_{gc})$ > 50° - 180° = -130°.

Vamos avaliar a fase em $\omega = 30$ rad/s, que é a frequência mínima exigida para $\omega_{gc}$. $\phi(30) = \arctan(0.1 \times 30) - \arctan(10 \times 30) - \arctan(0.2 \times 30)$ $\phi(30) = \arctan(3) - \arctan(300) - \arctan(6)$ $\phi(30) \approx 71.56° - 89.81° - 80.54°$ $\phi(30) \approx -98.79°$

Neste ponto, a margem de fase seria MF = 180° - 98.79° = 81.21°. Este valor (81.21°) é significativamente maior que o requisito de 50°.

Agora, precisamos entender como a fase se comporta para frequências maiores que 30 rad/s. Os polos e zeros da função de transferência são:

• Polo 1: $1/(10) = 0.1$ rad/s
• Polo 2: $1/(0.2) = 5$ rad/s
• Zero 1: $1/(0.1) = 10$ rad/s

Para $\omega > 10$ rad/s (a frequência do zero), a contribuição do zero começa a compensar o atraso de fase dos polos. A fase da função de transferência $G(j\omega)$ para $\omega > 10$ rad/s começa a se tornar menos negativa (i.e., aumenta). Isso pode ser verificado avaliando a fase em $\omega = 40$ rad/s: $\phi(40) = \arctan(0.1 \times 40) - \arctan(10 \times 40) - \arctan(0.2 \times 40)$ $\phi(40) = \arctan(4) - \arctan(400) - \arctan(8)$ $\phi(40) \approx 75.96° - 89.86° - 82.87°$ $\phi(40) \approx -96.77°$ Como $-96.77° > -98.79°$, a fase de fato se tornou menos negativa. Portanto, para qualquer $\omega_{gc} \ge 30$ rad/s, a fase $\phi(\omega_{gc})$ será maior que -98.79°, garantindo que a margem de fase será sempre maior que 81.21° (e, portanto, maior que 50°).

A condição da margem de fase é satisfeita automaticamente se a condição da frequência de corte for atendida.

2. Análise da Frequência de Corte (ω_gc): O requisito é $\omega_{gc} > 30$ rad/s. A frequência de corte é onde $|G(j\omega_{gc})| = 1$. Vamos determinar o valor de $K_c$ que resultaria em $\omega_{gc} = 30$ rad/s. $1 = K_c \frac{\sqrt{1 + (0.1 \times 30)^2}}{\sqrt{1 + (10 \times 30)^2}\sqrt{1 + (0.2 \times 30)^2}}$ $1 = K_c \frac{\sqrt{1 + 3^2}}{\sqrt{1 + 300^2}\sqrt{1 + 6^2}}$ $1 = K_c \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{90001}\sqrt{37}}$

Resolvendo para $K_c$: $K_c = \frac{\sqrt{90001}\sqrt{37}}{\sqrt{10}}$ $K_c = \sqrt{\frac{90001 \times 37}{10}}$ $K_c = \sqrt{\frac{3330037}{10}} = \sqrt{333003.7}$ $K_c \approx 577.06$

Este valor de $K_c \approx 577.06$ estabelece a frequência de corte exatamente em 30 rad/s. Para que $\omega_{gc}$ seja maior que 30 rad/s, o ganho $K_c$ deve ser maior que 577.06. Um aumento em $K_c$ desloca a curva de magnitude para cima no diagrama de Bode, resultando em uma $\omega_{gc}$ mais alta.

3. Comparação com as Alternativas: Vamos comparar o $K_c$ calculado com as alternativas fornecidas:

• (A) $K_c = 1000$
• (B) $K_c = 100$
• (C) $K_c = 0.1$
• (D) $K_c = 10$
• (E) $K_c = 1$

Apenas a alternativa (A) $K_c = 1000$ é maior que 577.06. Portanto, $K_c = 1000$ é o único valor que garante que a frequência de corte será maior que 30 rad/s. Como vimos, ao garantir $\omega_{gc} > 30$ rad/s, a margem de fase automaticamente será maior que 50°.

Conclusão

Para garantir uma margem de fase maior que 50° e uma frequência de corte maior que 30 rad/s, é necessário primeiramente assegurar que a frequência de corte seja superior a 30 rad/s. A análise da fase revelou que para qualquer frequência de corte igual ou superior a 30 rad/s, a margem de fase já estará bem acima dos 50° exigidos. O cálculo do ganho $K_c$ para que a frequência de corte seja exatamente 30 rad/s resultou em $K_c \approx 577.06$. Para que a frequência de corte seja maior que 30 rad/s, o valor de $K_c$ deve ser maior que 577.06. Dentre as alternativas, $K_c = 1000$ é a única que satisfaz essa condição.

Alternativa (A).