Os comandos abaixo são realizados no ambiente Python Notebook no Google Colab. ``` !pip install con...

Alternativa E - diagrama de Bode, de fase e de ganho, instável, Lugar das Raízes.

Introdução

A questão aborda a análise de estabilidade de um sistema de controle utilizando ferramentas computacionais em Python, especificamente o ambiente Google Colab com a biblioteca control. O foco está na interpretação dos gráficos gerados pelo comando ctl.sisotool() e na compreensão dos conceitos de margens de estabilidade (margem de ganho e margem de fase) e do Lugar das Raízes.

Desenvolvimento

O código Python define uma função de transferência de malha aberta H(s) = 3446 / (s^2 + 34.17s). Esta função pode ser reescrita como H(s) = 3446 / (s(s + 34.17)). Os polos do sistema são em s = 0 e s = -34.17. Não há zeros finitos. O comando ctl.sisotool(H) é uma ferramenta poderosa para análise de sistemas SISO (Single-Input Single-Output). Ele gera uma interface gráfica interativa que tipicamente exibe múltiplos gráficos importantes para o projeto e análise de sistemas de controle, incluindo:

• Diagrama de Bode: Mostra o módulo (ganho) e a fase da função de transferência em malha aberta em função da frequência. É a principal ferramenta para determinar as margens de ganho e de fase.
• Lugar das Raízes: Mostra o trajeto dos polos de malha fechada à medida que o ganho do controlador varia de zero a infinito. É crucial para avaliar a estabilidade e o desempenho transitório.
• Resposta ao Degrau Unitário: Geralmente mostra a resposta do sistema em malha fechada a uma entrada de degrau unitário.

Para a função de transferência H(s) = 3446 / (s(s + 34.17)):

1. Análise do Diagrama de Bode:
   • A presença de um polo na origem (s=0) contribui com -90° para a fase em baixas frequências.
   • A presença de outro polo em s = -34.17 adiciona mais -90° à fase à medida que a frequência aumenta.
   • A fase total da função de transferência H(jω) é Phase(H(jω)) = 0° - arctan(ω/0) - arctan(ω/34.17) = -90° - arctan(ω/34.17).
   • À medida que ω varia de 0 a infinito, a fase varia de -90° a -180°.
   • Como a fase nunca cruza -180°, não há frequência de cruzamento de fase (frequência onde a fase é -180°). Isso implica que a margem de ganho é infinita. Uma margem de ganho infinita significa que o sistema de malha fechada permanecerá estável para qualquer valor positivo de ganho proporcional K. Ou seja, o sistema não ficará instável.
2. Análise do Lugar das Raízes:
   • Os polos de malha aberta estão em s=0 e s=-34.17.
   • O Lugar das Raízes começa nesses polos.
   • Como não há zeros finitos, ambos os ramos do Lugar das Raízes irão para o infinito.
   • Para K > 0, os ramos do Lugar das Raízes se movem ao longo do eixo real negativo. Um ramo vai de s=0 para -∞ e o outro de s=-34.17 para -∞.
   • Nenhum ramo do Lugar das Raízes entra no semiplano direito (RHP) para K > 0. Isso confirma que o sistema de malha fechada é estável para todos os ganhos positivos, o que é consistente com uma margem de ganho infinita.

Análise

Vamos preencher as lacunas da frase: "O comando mostra o ______________ do sistema mostrando suas margens ______________. Neste gráfico a margem de ganho é infinita, ou seja, podemos aumentar o ganho infinitamente e o sistema não ficará ______________. Essa análise é confirmada pelo ______________."

| Lacuna | Preenchimento Correto | Justificativa | | :----- | :-------------------- | :------------ | | 1 | diagrama de Bode | Embora o sisotool exiba múltiplos gráficos, o diagrama de Bode é a ferramenta primária para visualizar e calcular as margens de ganho e de fase. | | 2 | de fase e de ganho | As margens de estabilidade padrão são a margem de fase e a margem de ganho. | | 3 | instável | Uma margem de ganho infinita significa que, independentemente de quão grande o ganho do sistema se torne, o sistema nunca se tornará instável; ele permanecerá estável. Portanto, "não ficará instável". | | 4 | Lugar das Raízes | A análise do Lugar das Raízes para esta função de transferência mostra que os polos de malha fechada nunca cruzam para o semiplano direito para ganhos positivos, confirmando a estabilidade incondicional e, consequentemente, uma margem de ganho infinita. |

Comparando com as alternativas:

• (A) diagrama de Bode, de fase e de ganho, estável, resposta ao degrau unitário. Incorreta na terceira lacuna ("não ficará estável" implicaria que ele se tornaria instável) e na quarta lacuna (Lugar das Raízes é a melhor confirmação).
• (B) diagrama de Bode, de fase e de ganho, estável, Lugar das Raízes. Incorreta na terceira lacuna.
• (C) diagrama de Nyquist, de estabilidade, instável, Lugar das Raízes. O diagrama de Nyquist também mostra estabilidade e margens, mas o Bode é mais comumente associado diretamente às "margens de fase e de ganho". "Margens de estabilidade" é menos específico.
• (D) diagrama de Nyquist, de fase e de ganho, estável, Lugar das Raízes. Incorreta na terceira lacuna.
• (E) diagrama de Bode, de fase e de ganho, instável, Lugar das Raízes. Todas as lacunas são preenchidas corretamente e de forma consistente com a teoria de controle e a análise do sistema dado.

Conclusão

A alternativa (E) é a que melhor preenche as lacunas na frase. O ctl.sisotool apresenta um diagrama de Bode que permite a visualização das margens de fase e de ganho. Para o sistema H(s) = 3446 / (s(s + 34.17)), a fase nunca atinge -180°, resultando em uma margem de ganho infinita. Isso significa que o sistema não ficará instável independentemente do aumento do ganho. Essa análise é corroborada pelo Lugar das Raízes, que mostra que os polos de malha fechada permanecem no semiplano esquerdo para qualquer ganho positivo.

Alternativa E.