Qual é o sobressinal do sistema em malha fechada ilustrado abaixo? Dados: \(K = 1\), \(G(s) = 1/(s^{...

Alternativa A - 31%

Introdução

O sobressinal (ou overshoot) é a medida do quanto a resposta de um sistema ultrapassa seu valor final em regime permanente, geralmente expresso em porcentagem. Ele está diretamente relacionado ao fator de amortecimento ($\zeta$) de um sistema de segunda ordem.

Desenvolvimento

A função de transferência em malha fechada $T(s)$ com realimentação unitária ($H(s)=1$) é dada por:

$T(s) = \frac{K \cdot G(s)}{1 + K \cdot G(s) \cdot H(s)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{s^2 + s + 1}}{1 + \frac{1}{s^2 + s + 1}} = \frac{1}{s^2 + s + 2}$

A forma padrão de um sistema de segunda ordem é: $T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$

Comparando os termos:

1. $\omega_n^2 = 2 \implies \omega_n = \sqrt{2} \approx 1.414$ rad/s
2. $2\zeta\omega_n = 1 \implies 2\zeta(\sqrt{2}) = 1 \implies \zeta = \frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.3535$

Análise

O sobressinal percentual ($M_p$) é calculado pela fórmula:

$M_p = e^{-\left( \frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)} \cdot 100$

Substituindo $\zeta = 0.3535$:

• $\zeta^2 = 0.125$
• $\sqrt{1-0.125} = \sqrt{0.875} \approx 0.9354$
• Exponente: $-\frac{0.3535 \cdot 3.14159}{0.9354} \approx -1.187$
• $M_p = e^{-1.187} \cdot 100 \approx 0.305 \cdot 100 = 30.5%$

Arredondando para o valor mais próximo disponível nas opções, obtemos 31%.

Conclusão

Através da análise da função de transferência de malha fechada, identificamos um fator de amortecimento subamortecido ($\zeta < 1$), o que resulta em um sobressinal de aproximadamente 31%.

Alternativa A.