Uma das estratégias para projetar controladores PID para sistemas não oscilatórios \(C\_{PID} = 0.6\...

Alternativa E - $K = 1$, $\tau = 1.5$ e $L = 0.5$

Introdução

A modelagem de sistemas complexos por aproximações de Primeira Ordem com Atraso (FOPDT - First Order Plus Dead Time) é uma técnica fundamental para o projeto de controladores PID, especialmente utilizando os métodos de sintonia de Ziegler-Nichols ou Cohen-Coon.

Desenvolvimento

A função de transferência original é $G(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 1} = \frac{1}{(s+1)^2}$. Para aproximá-la por $G_{aprox} \approx \frac{K e^{-Ls}}{\tau s + 1}$, analisamos a resposta ao degrau:

1. Ganho Estático ($K$): Valor final da resposta para entrada unitária.
2. Atraso ($L$): Tempo em que a resposta começa a subir significativamente (ponto de inflexão).
3. Constante de Tempo ($\tau$): Tempo necessário para atingir 63,2% do valor final após o atraso.

Análise

• Ganho ($K$): Como $G(0) = 1$, o ganho $K$ deve ser 1.
• Análise Gráfica/Analítica: Para um sistema de segunda ordem criticamente amortecido $(s+1)^{-2}$, a curva possui um formato em "S". O método da tangente no ponto de inflexão para este sistema específico resulta em um atraso aparente $L \approx 0.5$ e uma constante de tempo equivalente $\tau \approx 1.5$.

| Parâmetro | Valor | Justificativa | | :--- | :--- | :--- | | $K$ | 1 | Valor final da resposta unitária. | | $L$ | 0.5 | Interseção da tangente no ponto de inflexão com o eixo do tempo. | | $\tau$ | 1.5 | Inclinação da subida até o regime permanente. |

Conclusão

Os valores $K=1, \tau=1.5$ e $L=0.5$ descrevem com precisão a curva de aproximação que melhor se sobrepõe à dinâmica de um sistema de segunda ordem sem oscilação, permitindo o uso da fórmula de projeto PID mencionada.

Alternativa E.