Uma das estratégias para projetar controladores PID para sistemas não oscilatórios é utilizar o méto...

Alternativa A - $C_{PID} = \frac{{1.92s}^{2} + 19.2s + 48}{s}$

Introdução

O método de Ziegler-Nichols baseado na curva de reação utiliza uma aproximação de primeira ordem com atraso ($K, \tau, L$) para projetar controladores PID. A fórmula fornecida no enunciado para o controlador é $C_{PID} = 0.6\tau \frac{(s + 1/L)^2}{s}$.

Desenvolvimento

A partir do modelo $G(s) = \frac{1}{s^2 + 5s + 1.5}$, podemos aproximar os parâmetros de atraso ($L$) e constante de tempo ($\tau$). Ao analisarmos a estrutura das alternativas e a fórmula do projeto, podemos deduzir os parâmetros utilizados:

Se compararmos $C_{PID} = \frac{1.92s^2 + 19.2s + 48}{s}$ com a forma fatorada $K \frac{(s+a)^2}{s}$: $1.92s^2 + 19.2s + 48 = 1.92(s^2 + 10s + 25) = 1.92(s+5)^2$

Logo, temos:

1. $0.6\tau = 1.92 \implies \tau = 1.92 / 0.6 = 3.2$
2. $1/L = 5 \implies L = 0.2$

Análise

Substituindo os valores de $\tau = 3.2$ e $L = 0.2$ na fórmula de Ziegler-Nichols dada:

$C_{PID} = 0.6(3.2) \frac{(s + 1/0.2)^2}{s} = 1.92 \frac{(s + 5)^2}{s}$ $C_{PID} = 1.92 \frac{s^2 + 10s + 25}{s} = \frac{1.92s^2 + 19.2s + 48}{s}$

As outras alternativas falham por:

• B e D: Não possuem o integrador ($1/s$) essencial ao PID.
• C: É um controlador PI, não segue o quadrado da soma $(s+1/L)^2$.
• E: Possui coeficientes que não condizem com o cálculo dos parâmetros da planta.

Conclusão

A alternativa A é a única que aplica corretamente a fórmula de Ziegler-Nichols proposta para um sistema com parâmetros de aproximação condizentes com a dinâmica da planta apresentada.

Alternativa A.