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Quando trabalhamos com equações do segundo grau, as relações de soma e produto das raízes são ferramentas úteis para encontrar as soluções de forma rápida e prática. Em uma equação da forma $ax^{2}+bx+c=0$ , a soma das raízes é dada por $\frac{-b}{a}$ , e o produto das raízes é dado por $\frac{c}{a}$ , onde $a,, b, \text{e}, c$ são os coeficientes da equação. Essas relações permitem resolver algumas equações sem recorrer à fórmula de Bhaskara.
Considere a equação do segundo grau $2x^{2}-8x+6=0$ . Com base nas relações de soma e produto das raízes, identifique as raízes dessa equação:
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Para resolver a equação $2x^{2}-8x+6=0$ usando as relações de soma e produto das raízes, identificamos os coeficientes da equação: Usando a relação de soma, sabemos que a soma das raízes é dada por $\frac{-b}{a}$ $\frac{-b}{a} = \frac{-8}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Portanto, a soma das raízes deve ser igual a 4.
Usando a relação de produto, sabemos que o produto das raízes é dado por $\frac{c}{a}$
$\frac{c}{a}=\frac{6}{2}=3$
Logo, o produto das raízes deve ser igual a 3.
Agora, precisamos encontrar dois números que, ao serem somados, resultem em 4 e, ao serem multiplicados, resultem em 3. Esses números são 1 e 3, pois:
$1+3=4\ \mathrm{e}\ 1\times 3=3$
Assim, as raízes da equação $2x^{2}-8x+6=0$ são $1$ e $3$ .
As demais alternativas estão incorretas, pois:
$(-1)+(-3)=-4 \quad \text{e} \quad (-1)\times(-3)=3$ , logo a soma é diferente de $4$ . $(-1)+3=2\ \mathrm{e}\ (-1)\times 3=-3$ , logo a soma é diferente de $4$ e produto é diferente de $3$ . $2+4=6,\mathrm{e},2\times4=8$ , logo a soma é diferente de $4$ e produto é diferente de $3$ . $1+(-3)=-2\text{ e }1\times(-3)=-3$ , logo a soma é diferente de $4$ e produto é diferente de $3$ .