Um sistema de segunda ordem é representado pela função de transferência de malha fechada R(s) = 36 /...

Alternativa E

Para determinar a estabilidade e o comportamento do sistema de segunda ordem, devemos comparar a função de transferência dada com a forma padrão de um sistema dinâmico.

Análise Matemática

A função de transferência de malha fechada fornecida é: $$ \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{36}{s^2 + 2s + 36} $$

A equação característica do denominador é: $$ s^2 + 2s + 36 = 0 $$

O modelo padrão de um sistema de segunda ordem é definido por: $$ \frac{\omegan^2}{s^2 + 2\xi\omegan s + \omega_n^2} $$

Onde:

• $\omega_n$ é a frequência natural não amortecida. * $\xi$ (xi) é o fator de amortecimento.

Cálculo dos Parâmetros

1. Frequência Natural ($\omega_n$): Comparando os termos constantes: $$ \omegan^2 = 36 \Rightarrow \omegan = 6 \text{ rad/s} $$ 2. Fator de Amortecimento ($\xi$): Comparando os coeficientes do termo em $s$: $$ 2\xi\omega_n = 2 $$ Substituindo $\omega_n = 6$: $$ 2\xi(6) = 2 \Rightarrow 12\xi = 2 \Rightarrow \xi = \frac{2}{12} \approx 0,167 $$

Verificação de Estabilidade

• Critério Geral: Um sistema de segunda ordem é absolutamente estável se todos os coeficientes do polinômio característico forem positivos e reais (critério de Routh-Hurwitz simplificado). Aqui, os coeficientes são $1, 2, 36$, logo, o sistema é estável. * Comportamento Dinâmico: O valor calculado $\xi \approx 0,167$ indica que o sistema é subamortecido ($0 < \xi < 1$). Isso significa que ele terá oscilações antes de estabilizar, mas ainda será estável.

Avaliação das Alternativas

• A e C: Incorretas. O valor calculado de $\xi$ ($0,167$) não é maior que $0,4$ nem está entre $0,4$ e $0,8$. * B e D: Incorretas. O sistema não é instável, pois os polos possuem parte real negativa ($Re(s) = -1$). * E: Correta. O sistema é estável e o fator de amortecimento calculado ($0,167$) satisfaz a condição $0 < \xi < 1$.

Conclusão: O sistema é estável com um fator de amortecimento de aproximadamente $0,167$, enquadrando-se na faixa $0 < \xi < 1$.