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A Regra da Cadeia é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial, permitindo a diferenciação de funções compostas de várias variáveis. Quando temos funções que dependem de outras funções, a Regra da Cadeia nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função composta em relação a uma variável específica. Isso é particularmente útil em problemas de física, engenharia e economia, onde variáveis intermediárias estão frequentemente interligadas. Sobre este conteúdo, considere as funções $x(t)=t^2$ e $y(t)=\text{sen}(t)$. Assinale a alternativa que apresenta corretamente a derivada de $f(x,y)=x^2+y^2$ em relação a $t$ no ponto $t=\frac{\pi}{2}$.
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🎓 Gabarito
A alternativa correta é B
JUSTIFICATIVA:
Para encontrar a derivada de $f(x,y) = x^2 + y^2$ em relação a $t$, utilizamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis: $$\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$ Dadas as funções $x(t) = t^2$ e $y(t) = \text{sen}(t)$, calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na fórmula da Regra da Cadeia: $$\frac{df}{dt} = (2t^2)(2t) + (2\text{sen}(t))(\cos(t)) = 4t^3 + 2\text{sen}(t)\cos(t) = 4t^3 + \text{sen}(2t)$$
No ponto $t = \frac{\pi}{2}$: $$\frac{df}{dt}\bigg|_{t=\frac{\pi}{2}} = 4\left(\frac{\pi}{2}\right)^3 + \text{sen}\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 4 \cdot \frac{\pi^3}{8} + \text{sen}(\pi) = \frac{\pi^3}{2} + 0 = \frac{\pi^3}{2}$$