Considere a função contínua $f(x,y)=e^x+y$ sobre uma região limitada $D$, delimitada por $0 \le x \l...

🎓 Gabarito

A alternativa correta é E

JUSTIFICATIVA:

A integral dupla sobre a região $D$ é montada como: $$I = \int_0^1 \int_{x^2}^x (e^x + y) , dy , dx$$

1. Integral interna em relação a $y$: $$\int_{x^2}^x (e^x + y) , dy = \left[ y e^x + \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^x = (x e^x + \frac{x^2}{2}) - (x^2 e^x + \frac{x^4}{2}) = x e^x - x^2 e^x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2}$$

2. Integral externa em relação a $x$: $$\int_0^1 (x e^x - x^2 e^x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2}) , dx$$

Calculando as partes separadamente:

• $\int_0^1 x e^x , dx = [e^x(x-1)]_0^1 = 0 - (-1) = 1$
• $\int_0^1 x^2 e^x , dx = [e^x(x^2 - 2x + 2)]_0^1 = e(1-2+2) - 2 = e - 2$
• $\int_0^1 (\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2}) , dx = [\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{10}]_0^1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5-3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Somando os resultados: $$I = 1 - (e - 2) + \frac{1}{15} = 1 - e + 2 + \frac{1}{15} = 3 - e + \frac{1}{15} = \frac{45 + 1}{15} - e = \frac{46}{15} - e$$