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O polinômio de Taylor é uma ferramenta matemática poderosa utilizada para aproximar o valor de uma função em torno de um ponto. Considere uma função de várias variáveis e seu desenvolvimento utilizando o polinômio de Taylor. Sobre a aplicação desta técnica, observe as afirmativas a seguir. I. O polinômio de Taylor é utilizado para encontrar a aproximação de uma função em uma vizinhança específica ao redor de um ponto. II. A diferencial total de uma função de várias variáveis é uma aplicação direta do polinômio de Taylor. III. O polinômio de Taylor de ordem 1 para a função $f(x, y) = x + y^2$ desenvolvido em $(1, 3)$ é $3 + 6(x - 1) + 2(y - 3)$. IV. A fórmula $f(x, y) \approx f(a, b) + \frac{\partial f}{\partial x}|{(a,b)}(x - a) + \frac{\partial f}{\partial y}|{(a,b)}(y - b)$ representa uma aproximação de ordem 2 do polinômio de Taylor. Está correto o que se afirma em:
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🎓 Gabarito
A alternativa correta é E
JUSTIFICATIVA:
Análise das afirmativas: I. Correta. O polinômio de Taylor fornece aproximações locais de funções em torno de um ponto específico. II. Correta. A diferencial total $df = f_x dx + f_y dy$ corresponde exatamente aos termos de primeira ordem do polinômio de Taylor (linearização). III. Incorreta. Para $f(x, y) = x + y^2$ em $(1, 3)$: