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Uma empresa de engenharia está desenvolvendo um projeto que envolve a modelagem de uma estrutura tridimensional. Para analisar a distribuição de massa, os engenheiros precisam calcular a integral tripla da função de densidade $\rho(x,y,z)= x^2+y^2+z^2$ dentro de um paralelepípedo $B$ definido por $0 \le x \le 1$, por $0 \le y \le 2$ e por $0 \le z \le 3$. Com base nisso, encontre a massa de $M = \iiint_B \rho(x,y,z) dV$. Assinale a alternativa correta:
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🎓 Gabarito
A alternativa correta é B
JUSTIFICATIVA:
A massa $M$ é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume $B$: $$M = \int_0^3 \int_0^2 \int_0^1 (x^2 + y^2 + z^2) , dx , dy , dz$$
Integral em $x$: $$\int_0^1 (x^2 + y^2 + z^2) , dx = \left[ \frac{x^3}{3} + xy^2 + xz^2 \right]_0^1 = \frac{1}{3} + y^2 + z^2$$
Integral em $y$: $$\int_0^2 \left( \frac{1}{3} + y^2 + z^2 \right) , dy = \left[ \frac{1}{3}y + \frac{y^3}{3} + yz^2 \right]_0^2 = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} + 2z^2 = \frac{10}{3} + 2z^2$$
Integral em $z$: $$\int_0^3 \left( \frac{10}{3} + 2z^2 \right) , dz = \left[ \frac{10}{3}z + \frac{2z^3}{3} \right]_0^3 = 10 + \frac{2(27)}{3} = 10 + 18 = 28$$
A massa total é 28.