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A Regra da Cadeia é uma técnica poderosa no cálculo diferencial, especialmente útil ao lidar com funções compostas de várias variáveis. Esta regra permite determinar a taxa de variação de uma função em relação a uma variável específica, mesmo quando a função depende de outras variáveis intermediárias. Em situações complexas onde as dependências entre variáveis são múltiplas, a Regra da Cadeia facilita a derivação correta e eficiente. Neste contexto, considere a função $w = f(x,y,z)$, onde $x = g(u,v)$, $y = h(u,v)$ e $z = k(u,v)$. Suponha que $f, g, h$ e $k$ são funções diferenciáveis, e seja $w = xy+yz$, $x = u+v$, $y = e^u$ e $z = \cos v$. Assinale a alternativa que apresenta corretamente a derivada de $w$ em relação a $u$.
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🎓 Gabarito
A alternativa correta é E
JUSTIFICATIVA:
Utilizamos a Regra da Cadeia para a função $w(x,y,z)$ onde as variáveis dependem de $u$: $$\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u}$$ Dadas as funções $w = xy + yz$, $x = u + v$, $y = e^u$ e $z = \cos v$, calculamos as derivadas parciais:
Substituindo na expressão da Regra da Cadeia: $$\frac{\partial w}{\partial u} = (e^u)(1) + (u + v + \cos v)(e^u) + (e^u)(0)$$ $$\frac{\partial w}{\partial u} = e^u + e^u(u + v + \cos v) = e^u(1 + u + v + \cos v)$$