A Regra da Cadeia é uma técnica poderosa no cálculo diferencial, especialmente útil ao lidar com fun...

🎓 Gabarito

A alternativa correta é E

JUSTIFICATIVA:

Utilizamos a Regra da Cadeia para a função $w(x,y,z)$ onde as variáveis dependem de $u$: $$\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u}$$ Dadas as funções $w = xy + yz$, $x = u + v$, $y = e^u$ e $z = \cos v$, calculamos as derivadas parciais:

1. $\frac{\partial w}{\partial x} = y = e^u$
2. $\frac{\partial w}{\partial y} = x + z = (u + v) + \cos v$
3. $\frac{\partial w}{\partial z} = y = e^u$
4. $\frac{\partial x}{\partial u} = 1$
5. $\frac{\partial y}{\partial u} = e^u$
6. $\frac{\partial z}{\partial u} = 0$ (pois $z$ depende apenas de $v$)

Substituindo na expressão da Regra da Cadeia: $$\frac{\partial w}{\partial u} = (e^u)(1) + (u + v + \cos v)(e^u) + (e^u)(0)$$ $$\frac{\partial w}{\partial u} = e^u + e^u(u + v + \cos v) = e^u(1 + u + v + \cos v)$$