Considerando a função $g(x,y) = x^3 - 3xy^2$, assinale a alternativa que apresenta as coordenadas do...

🎓 Gabarito

A alternativa correta é D

JUSTIFICATIVA:

Os pontos críticos de uma função $g(x,y)$ ocorrem nos pontos onde o gradiente é nulo, ou seja, onde as derivadas parciais de primeira ordem são simultaneamente iguais a zero. Calculamos as derivadas parciais de $g(x,y) = x^3 - 3xy^2$:

1. $g_x = \frac{\partial g}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$
2. $g_y = \frac{\partial g}{\partial y} = -6xy$

Igualamos ambas a zero para encontrar os pontos críticos: I) $3x^2 - 3y^2 = 0 \implies x^2 = y^2 \implies x = y$ ou $x = -y$ II) $-6xy = 0 \implies x = 0$ ou $y = 0$

Analisando o sistema:

• Se $x = 0$, substituindo em (I) temos $0^2 = y^2 \implies y = 0$. Ponto: $(0,0)$.
• Se $y = 0$, substituindo em (I) temos $x^2 = 0^2 \implies x = 0$. Ponto: $(0,0)$.

Portanto, o único ponto crítico da função é a origem $(0,0)$.