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Uma integral tripla é uma extensão do conceito de integral dupla para funções de três variáveis. A integral tripla é usada para calcular volumes em um espaço tridimensional ou para determinar outras propriedades como massa, centro de massa, etc. Considere a integral tripla $\iiint_B (x + y + z) dV$ onde $B$ é a caixa retangular dada por $B = {(x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2, 0 \le z \le 3 }$. Com base nisso, calcule o valor da integral tripla $\iiint_B (x + y + z) dV$.
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🎓 Gabarito
A alternativa correta é D
JUSTIFICATIVA:
Para calcular a integral tripla sobre a região retangular $B$, montamos as integrais iteradas: $$I = \int_0^3 \int_0^2 \int_0^1 (x + y + z) , dx , dy , dz$$
Integral em relação a $x$: $$\int_0^1 (x + y + z) , dx = \left[ \frac{x^2}{2} + xy + xz \right]_0^1 = \frac{1}{2} + y + z$$
Integral em relação a $y$: $$\int_0^2 \left( \frac{1}{2} + y + z \right) , dy = \left[ \frac{1}{2}y + \frac{y^2}{2} + yz \right]_0^2 = (1 + 2 + 2z) - 0 = 3 + 2z$$
Integral em relação a $z$: $$\int_0^3 (3 + 2z) , dz = [3z + z^2]_0^3 = (9 + 9) - 0 = 18$$
O valor da integral tripla é 18.