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Considere uma lâmina ocupando a região do plano , onde é delimitada pelos pontos , , e . A densidade da lâmina em qualquer ponto é dada por . Nesse sentido, a massa total da lâmina pode ser encontrada usando integrais duplas. Nesse sentido, calcule a massa total da lâmina usando a densidade fornecida e assinale a alternativa correta:
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🎓 Gabarito
A alternativa correta é D
JUSTIFICATIVA:
A massa $m$ de uma lâmina com densidade $\rho(x, y)$ sobre uma região $D$ é dada pela integral dupla: $$m = \iint_D \rho(x, y) , dA$$
A região $D$ é um quadrado delimitado por $0 \le x \le 1$ e $0 \le y \le 1$. Substituindo a função densidade $\rho(x, y) = 2xy$: $$m = \int_0^1 \int_0^1 2xy , dy , dx$$
Resolvendo a integral interna em relação a $y$: $$\int_0^1 2xy , dy = 2x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = 2x \left( \frac{1}{2} \right) = x$$
Agora, resolvendo a integral externa em relação a $x$: $$m = \int_0^1 x , dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$$
Portanto, a massa total da lâmina é $1/2$.