A partir do Método da Bissecção, determine uma aproximação para a raiz da função f(x) = x² - 17 no i...

Alternativa E - 4,09375

Para resolver esta questão, utilizaremos o Método da Bissecção, um algoritmo numérico iterativo usado para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo fechado.

Análise do Problema

Dada a função $f(x) = x^2 - 17$ no intervalo inicial $[4, 5]$, precisamos realizar 5 iterações. O objetivo é reduzir o tamanho do intervalo até obter a aproximação solicitada.

Regra de Seleção do Subintervalo:

• Calculamos o ponto médio $c = \frac{a + b}{2}$. * Avaliamos o sinal de $f(c)$. * O novo intervalo será aquele onde a função muda de sinal (teorema do valor intermediário), ou seja, entre $a$ e $c$, ou entre $c$ e $b$.

Passo a Passo das Iterações

Iteração 1:

• Intervalo atual: $[4, 5]$ * Pontos: $a = 4$, $b = 5$ * Sinais: $f(4) = 16 - 17 = -1$ (negativo); $f(5) = 25 - 17 = 8$ (positivo). * Ponto Médio ($c_1$): $\frac{4 + 5}{2} = 4.5$ * Avaliação: $f(4.5) = 4.5^2 - 17 = 20.25 - 17 = 3.25$ (positivo). * Como $f(4)$ é negativo e $f(4.5)$ é positivo, a raiz está em $[4, 4.5]$.

Iteração 2:

• Intervalo atual: $[4, 4.5]$ * Pontos: $a = 4$, $b = 4.5$ * Ponto Médio ($c_2$): $\frac{4 + 4.5}{2} = 4.25$ * Avaliação: $f(4.25) = 4.25^2 - 17 = 18.0625 - 17 = 1.0625$ (positivo). * Como $f(4)$ é negativo e $f(4.25)$ é positivo, a raiz está em $[4, 4.25]$.

Iteração 3:

• Intervalo atual: $[4, 4.25]$ * Pontos: $a = 4$, $b = 4.25$ * Ponto Médio ($c_3$): $\frac{4 + 4.25}{2} = 4.125$ * Avaliação: $f(4.125) = 4.125^2 - 17 \approx 17.0156 - 17 = 0.0156$ (positivo). * Como $f(4)$ é negativo e $f(4.125)$ é positivo, a raiz está em $[4, 4.125]$.

Iteração 4:

• Intervalo atual: $[4, 4.125]$ * Pontos: $a = 4$, $b = 4.125$ * Ponto Médio ($c_4$): $\frac{4 + 4.125}{2} = 4.0625$ * Avaliação: $f(4.0625) = 4.0625^2 - 17 \approx 16.5039 - 17 = -0.4961$ (negativo). * Como $f(4.0625)$ é negativo e $f(4.125)$ é positivo, a raiz está em $[4.0625, 4.125]$.

Iteração 5:

• Intervalo atual: $[4.0625, 4.125]$ * Pontos: $a = 4.0625$, $b = 4.125$ * Ponto Médio ($c_5$): $\frac{4.0625 + 4.125}{2} = \frac{8.1875}{2} = 4.09375$

O valor obtido na quinta iteração é exatamente 4,09375.

Conclusão

Após realizar as 5 iterações conforme solicitado pelo enunciado, a aproximação encontrada é 4,09375.

Portanto, a alternativa correta é a E.