Considere a função real de variável real definida por f(x) = 2^x - 3x. Pode-se concluir que a função...

Alternativa D

Para encontrar o intervalo que contém pelo menos um zero real da função, utilizamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Este teorema estabelece que, se uma função contínua $f(x)$ assume valores de sinais opostos nas extremidades de um intervalo $[a, b]$, então ela deve ter pelo menos um zero nesse intervalo.

A função dada é $f(x) = 2^x - 3x$. Vamos calcular o valor da função nos pontos críticos mencionados nas alternativas para verificar a mudança de sinal.

Análise dos Intervalos

Calcularemos $f(x)$ para os valores de $x$ que definem os limites dos intervalos propostos:

| $x$ | Cálculo de $f(x) = 2^x - 3x$ | Resultado | Sinal | | --- | --- | --- | --- | | -2 | $2^{-2} - 3(-2) = 0,25 + 6$ | $6,25$ | (+) Positivo | | -1 | $2^{-1} - 3(-1) = 0,5 + 3$ | $3,5$ | (+) Positivo | | 0 | $2^0 - 3(0) = 1 - 0$ | $1$ | (+) Positivo | | 1 | $2^1 - 3(1) = 2 - 3$ | $-1$ | (-) Negativo | | 2 | $2^2 - 3(2) = 4 - 6$ | $-2$ | (-) Negativo | | 3 | $2^3 - 3(3) = 8 - 9$ | $-1$ | (-) Negativo |

Observando a tabela acima, identificamos a mudança de sinal necessária:

• No ponto $x = 0$, temos $f(0) = 1$ (positivo). * No ponto $x = 1$, temos $f(1) = -1$ (negativo).

Como a função passa de positiva para negativa entre $x=0$ e $x=1$, necessariamente ela cruza o eixo $x$ (valor zero) dentro desse intervalo.

Portanto, podemos concluir que a função dada contém pelo menos um zero real no intervalo [0, 1].