A aproximação de f(x) = x³ - 1 por um polinômio de grau um, no intervalo [a,b] = [- 1,1]:

Com os dados da questão, temos que aproximar a função f(x) = x³ - 1 por uma reta, na forma: φ(x) = α₁g₁(x) + α₂g₂(x) ⇒ (g₁(x) = 1; g₂(x) = x) Com α₁ e α₂ solução de Aα = b, em que: A = (a₁₁, a₁₂; a₂₁, a₂₂) ; α = (α₁; α₂) ; b = (b₁; b₂), sendo: a₁₁ = ∫(- 1)¹g₁²(x)dx = ∫(- 1)¹(1)²dx = 2 a₁₂ = ∫(- 1)¹g₁(x)g₂(x)dx = ∫(- 1)¹(1)(x)dx = 0 a₂₁ = a₁₂ = 0 a₂₂ = ∫(- 1)¹g₂²(x)dx = ∫(- 1)¹x²dx = 2 / 3 b₁ = ∫(- 1)¹f(x)g₁(x)dx = ∫(- 1)¹(x³ - 1)(1)dx = - 2 b₂ = ∫(- 1)¹f(x)g₂(x)dx = ∫(- 1)¹(x³ - 1)(x)dx = 2 / 5 Temos então o sistema na forma matricial: (2, 0; 0, 2 / 3)(α₁; α₂) = (- 2; 2 / 5) Resolvendo o sistema, chega-se a solução: ⇒ α = (- 1; 3 / 5) Logo, a aproximação por quadrados mínimos de f(x) = (x³ - 1), no intervalo [-1,1], por um polinômio de grau 1, é a reta: φ(x) = - 1 + (3x)/(5)