Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva da equação a seguir, com precisão ε = 10^(- 4): 2cos(x) = (e^(x))/(2) Aponte a alternativa correta:

O processo mais eficaz para obter um valor inicial é o método gráfico. Com isso em mente, dividiremos a equação inicial f(x) = 0 em outras duas equações mais simples, y1 e y2. O rearranjo para obter essas equações deve apenas levar em consideração a igualdade f(x) = 0. Tomando y1 = 2cos(x) e y2 = ex/2, e plotando as duas funções no mesmo gráfico, tem-se: Sabe-se que o ponto de interseção das duas curvas é a solução procurada. Assim, escolhemos um chute inicial x0 = 1.0, que está na vizinhança da interseção. Da equação original obtemos: f(x) = 2cos(x) - (e^(x))/(2) f^(')(x) = - 2sen(x) - (e^(x))/(2) Efetuando os cálculos com 5 casas decimais: f(x₀) = 2cos(1 . 0) - (e^(1 . 0))/(2) = - 0 . 27854 f ' (x₀) = - 2sen(1 . 0) - (e^(1 . 0))/(2) = - 3 . 04208 Calculando x1: x₁ = x₀ - (f(x₀))/(f^(')(x₀)) ⟹ x₁ = 1 . 0 - ((- 0 . 27854))/((- 3 . 04208)) ⟹ x₁ = 0 . 90844 Calculando o erro relativo, temos: ((x₁ - x₀)/(x₁)) ≈ 0 . 10079 Maior do que 10-4. Devemos fazer uma nova iteração, chegando aos valores: f(x₁) = - 0 . 01027 f ' (x₁) = - 2 . 81731 e x2 = 0.90479 Calculando o erro relativo: ((x₂ - x₁)/(x₂)) ≈ 0 . 00403 Ainda maior do que o erro estipulado. Repetindo os procedimentos anteriores mais uma vez, chega-se a x = 0.90479 para a raiz do problema com erro menor que ε = 10^(- 4).