Diante do apresentado sobre o circuito hamiltoniano, compreenda as afirmativas a seguir: I. Um grafo completo com vértices () sempre possui um circuito hamiltoniano, para . II. Todo grafo que possui um circuito hamiltoniano também possui um caminho hamiltoniano. III. Se um grafo é conexo, ele sempre possui um circuito hamiltoniano. Está correto o que se afirma em:

O algoritmo de busca em profundidade é amplamente usado para detectar ciclos, encontrar componentes conectados e realizar ordenação topológica em grafos direcionados acíclicos. Sua exploração sistemática de vértices permite resolver problemas como análise de dependências em sistemas computacionais. Diante disso, acerca dos conhecimentos sobre grafo direcionado (ou dígrafo), assinale a alternativa correta.

Leia o trecho a seguir: Em uma árvore binária, um nó que não possui filhos é chamado de [preencher 1], enquanto o número máximo de filhos que um nó pode ter é [preencher 2]. Os termos [preencher 1] e [preencher 2] são corretamente substituídos por:

Matrizes são usadas para representar relações binárias sobre conjuntos finitos. Essa representação é particularmente útil em algoritmos de grafos e na análise de sistemas computacionais. Operações como transposição e potenciação em matrizes têm interpretação direta no contexto das relações. Considere as seguintes definições:

Uma matriz é dita simétrica se , onde representa a transposta de . 2. A matriz identidade de ordem é uma matriz quadrada com em todos os elementos da diagonal principal e nos demais. 3. Uma matriz nula é uma matriz em que todos os elementos são iguais a .

Com base nos estudos sobre Matrizes, assinale a alternativa correta.

Diante do apresentado sobre sobre matrizes em Fundamentos Matemáticos para Computação, interprete as afirmativas a seguir: I. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. II. A soma de duas matrizes e é definida somente se ambas possuem o mesmo número de linhas e colunas. III. O produto de duas matrizes e é comutativo, ou seja, para quaisquer matrizes e . Está correto o que se afirma em:

Levando em consideração os estudos de funções da semana, considere uma função . Neste contexto, assinale a alternativa que reconhece a propriedade injetora de .

Com base nos estudos de relações binárias. Considere uma relação binária definida no conjunto como . Qual das seguintes propriedades possui? Assinale a alternativa correta.

Relações de recorrência também aparecem em contextos geométricos, como o cálculo de áreas ou volumes e resolvê-las ajuda a prever padrões de subdivisões. Assim, recorrências têm aplicações práticas em problemas geométricos e são essenciais em diversas áreas. Diante do apresentado sobre relações de recorrência lineares de primeira ordem com coeficientes constantes, interprete as afirmativas a seguir: I. Toda relação de recorrência linear de primeira ordem com coeficientes constantes pode ser resolvida unicamente se uma condição inicial for fornecida. II. A relação de recorrência é homogênea. III. A solução geral de uma relação de recorrência linear de primeira ordem homogênea com coeficientes constantes possui a forma , onde é uma raiz característica. Está correto o que se afirma em:

Em relação ao conteúdo estudado, examine as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. Para todo , a soma dos primeiros números naturais é dada por PORQUEII. Essa fórmula pode ser demonstrada utilizando o primeiro princípio da indução matemática, que consiste em verificar o caso base , assumir como verdadeiro e, então, provar . A respeito dessas asserções assinale a alternativa correta.

Uma prova construtiva estabelece a existência de um objeto matemático ao fornecê-lo explicitamente ou mostrar um método para construí-lo. Em computação, essa abordagem está ligada à teoria dos algoritmos, onde a construção explícita de soluções é essencial para validação de resultados. A Regra do Laço (ou Loop Invariant) é uma ferramenta fundamental na análise de algoritmos e fundamenta-se em provar que uma propriedade específica permanece verdadeira a cada iteração de um laço. Neste contexto, sobre a Regra do Laço em fundamentos matemáticos para a computação, interprete as afirmativas a seguir: I. A Regra do Laço é utilizada para provar que a propriedade de um algoritmo é válida apenas no início da execução do laço. II. Um invariante de laço deve ser verdadeiro no início, durante cada iteração e ao final da execução do laço. III. A Regra do Laço não garante a correção total de um algoritmo, mas contribui para demonstrar a parcialidade da solução. Está correto o que se afirma em:

A indução é uma técnica poderosa que consiste em provar uma propriedade para um caso base e, em seguida, demonstrar que, se ela vale para um caso arbitrário , então também vale para . Essa abordagem é amplamente utilizada para validar fórmulas envolvendo somatórios, propriedades de sequências e algoritmos recursivos. Em computação, a indução é essencial para garantir a correção de estruturas como árvores e listas ligadas. Considere a seguinte afirmação: *"Se é um número par, então também é par." Neste contexto, assinale a alternativa que reconhece uma demonstração direta dessa afirmação:*

A contraposição é baseada na equivalência lógica entre uma afirmação e sua contrapartida . Essa técnica é útil quando é mais fácil mostrar que a ausência de implica na ausência de . Em fundamentos de computação, ela é frequentemente usada para provar propriedades de programas e algoritmos, como a não terminação de certos loops. O primeiro princípio da indução matemática afirma que, para provar que uma propriedade é verdadeira para todo número natural , devemos demonstrar:

Que (preencher 1) é verdadeira (caso base). * Que, se é verdadeira, então (preencher 2) também é verdadeira (passo indutivo).

Os termos [preencher 1] e [preencher 2] são corretamente substituídos por:

Algoritmos de busca em inteligência artificial frequentemente utilizam árvores para explorar possibilidades. Árvore de decisão, por exemplo, ajuda a tomar decisões sequenciais, enquanto árvores de busca binária organizam dados para acesso rápido e eficiente. Os algoritmos de busca são usados para localizar um elemento dentro de uma estrutura de dados. Diante disso, sobre a diferença entre a busca linear e a busca binária, assinale a alternativa correta.

Uma relação em um conjunto é chamada de relação de equivalência quando for reflexiva, simétrica e transitiva. Considere o conjunto (números inteiros) e a relação definida em como: se, e somente se, é múltiplo de 4. Com relação a este contexto e sobre o conteúdo estudado, examine as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. A relação é uma relação de equivalência sobre . PORQUEII. A relação é reflexiva, simétrica e transitiva porque a subtração de quadrados é sempre múltiplo de 4 para quaisquer . A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

As tabelas-verdade são ferramentas que mostram todas as combinações possíveis de valores lógicos para proposições simples e compostas. Essa análise sistemática é indispensável na validação de argumentos. Seu uso simplifica a compreensão e solução de problemas lógicos. Considere as proposições , e :

: "O número 4 é par." * : "O número 7 é divisível por 2." * : "A soma de dois números ímpares é par."

Neste contexto, com base nas proposições acima, observe as afirmativas a seguir: I. : "O número 4 é par, e o número 7 é divisível por 2." II. : "O número 4 é par, ou a soma de dois números ímpares é par." III.: "O número 7 não é divisível por 2, ou a soma de dois números ímpares é par." Está correto o que se afirma em:

A equivalência lógica entre proposições é um conceito fundamental na lógica matemática e na computação. Dizemos que duas proposições e são logicamente equivalentes quando elas têm os mesmos valores de verdade para todas as possíveis interpretações das variáveis envolvidas. Com relação a este contexto e sobre o conteúdo estudado, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. A expressão lógica é logicamente equivalente a . PORQUE II. Utilizando as regras de equivalência, podemos simplificar a expressão original eliminando redundâncias e reduzindo-a a . A respeito dessas asserções assinale a alternativa correta:

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